ERATOSTENOV EKSPERIMENT 2025

 

ERATOSTEN IZ ALEKSANDRIJE

Matematičar, astronom I  geograf Eratosten (276–194. p.n.e.) bio je veliki filozof i logičar koji je sa velikom preciznošću odredio obim i radijus Zemlje. Priča o ovom njegovom otkriću veoma je poznata, a o njoj je pisao i Karl Sagan u svojoj knjizi Kosmos.

Dok je bio upravnik Aleksandrijske biblioteke, Eratosten je pročitao jedan papirus na kome je pisalo da se u gradu Asuanu (Sijena), na dan letnjeg solsticija, 21. juna, čovek može ogledati u mirnoj površini vode u jednom vrlo dubokom bunaru.

Iz ovog zapisa Eratosten je zaključio da sunčevi zraci u tom gradu padaju normalno na površinu Zemlje, odnosno da 21. juna, tačno u podne, u Asuanu (Sijena) predmeti ne bacaju senku, što omogućava da se vidi voda na dnu dubokog bunara. Istovremeno, u  Aleksandriji predmeti ipak bacaju senku.

Ovo različito ponašanje predmeta – pojava senke u Aleksandriji i odsustvo senke u Asuanu (Sijena) – navelo je Eratostena da razmišlja o tome da je Zemlja okrugla. Odlučio je da detaljnije istraži ovu pojavu i tačno u podne, na dan letnjeg solsticija, posmatrao je senku jednog vertikalnog stuba u Aleksandriji.

Izmerio je ugao između stuba i sunčevih zraka, koji je iznosio 7,12˚. Na peskovitom tlu nacrtao je presek Zemlje u pravcu meridijana, postavio gradove Asuan (Sijena) i Aleksandriju, a zatim ucrtao sunčeve zrake koji dolaze paralelno sa površinom Zemlje i normalno padaju na grad Asuan (Sijena). Ti isti zraci nisu padali normalno na Aleksandriju, zbog čega su predmeti u tom gradu pravili senke.

Ovaj zaključak ga je oduševio – imao je dovoljan dokaz da je Zemlja okrugla, a ne ravna ploča, kako se dugo verovalo (a neki i danas veruju). Tada je došao na ideju da izračuna obim Zemlje. Ubrzo je shvatio da nema sve podatke i da mu je potrebna vrednost rastojanja između Asuana (Sijena) i Aleksandrije.

Zamolio je prijatelja, koji je često putovao ovom rutom karavanom kamila, da broji korake i tako odredi udaljenost  između ova dva grada. Pomogli su mu i svi ljudi koji su koračali uz kamile kako bi dobili precizniji rezultat, i izbrojali su milion koraka. Poznavajući prosečnu dužinu koraka, izračunali su da je rastojanje oko 5000 stadijuma (egipatski stadijum – tadašnja merna jedinica – imao je vrednost od oko 157,5 metara). Uz ovaj podatak, Eratosten je jednostavno izračunao obim Zemlje.

Detaljno posmatrajući skicu koju je nacrtao na pesku, zaključio je da i centralni ugao u središtu Zemlje iznosi 7,12˚. Pošto je ugao od 7,12˚  50 puta manji od 360˚, znači da je obim Zemlje 50 puta veći od udaljenosti između Aleksandrije i Asuana (Sijena).

Eratostenov  proračun:
360˚ : 7,12˚ = 50
Aleksandrija – Asuan (Sijena) = 5000 stadijuma

Obim Zemlje:
50 × 5000 = 250.000 stadijuma
1 stadijum = 157,5 m
250.000 × 157,5 m = 39.375.000 m = 39.375 km

Ova Eratostenova procena veoma je blizu stvarnoj vrednosti, koja iznosi 40.075,16 km (ekvatorijalni obim) ili 40.008,00 km (meridijanski obim).

---

ERATOSTEN IZ SKOPJA,

iz OOU „Dimitar Miladinov“

Naš eksperiment smo izveli kada je Sunce bilo u zenitu na ekvatoru, tačno u podne po lokalnom vremenu, odnosno kada su sunčevi zraci padali normalno na mesta oko ekvatora. Prethodno smo odredili udaljenost naše škole od ekvatora.

Izmerili smo senku vertikalnog stuba dugog 100 cm.

Na prolećnu i jesenju ravnodnevicu, sunčevi zraci padaju normalno na ekvator, pa vertikalno postavljeni stub na ekvatoru nema senku. To je naš „Asuan (Sijena)“, a Skoplje u ovom slučaju predstavlja Aleksandriju.

Solarno podne odredili smo pomoću Local to Solar Time Converter. Za njegovo izračunavanje dovoljno je navesti geografsku dužinu i tačno lokalno vreme.

Na 21.03.2016. godine izmerili smo dužinu senke (srednja vrednost od 5 merenja), koja je iznosila 93,5 cm. Ova dužina odgovara uglu od 42˚ između stuba dugog 100 cm i hipotenuze pravouglog trougla, čije su katete senka i stub. Ovaj ugao je jednak uglu α, koji seče luk meridijana u tačkama ekvatora i naše škole.

Rastojanje od Skoplja do ekvatora odredili smo pomoću Google Earth i dobili približno 4666,13 km. Ovo rastojanje proverili smo pomoću geografske karte sveta u razmeri 1:80.000.000 i dobili sličan rezultat.

NAŠA RAČUNICA:
360˚ : 42˚ = 8,5714285
8,5714285 × 4666,13 km = 39.995,399 km

Obim Zemlje:
40.075,16 km (ekvatorijalni),
40.008,00 km (meridijanski).

Kako smo se pripremili za ovu 2025. godinu:
Iskoristili smo  ChatGPT da doznamo tačne podatke, u stvari da provjerimo nekadašnje podatke, dali su bili tačni. A uz put da doznamo dali se moramo pridržavati tačnog vremena kad na ekvatoru sunčevi zraci padaju pod pravim uglom ili možemo mjeriti i u drugim terminima.
Dobili smo odlične instrukcije za termine ako poželimo mjeriti prije 13 sati.
Dobili smo vakav odgovor:

Da biste izveli Eratostenov eksperiment 20. marta u 11:00 časova po lokalnom vremenu u Skoplju, potrebno je da nađete lokaciju gde će Sunce biti u zenitu u isto vreme.

Na 20. mart, oko prolećne ravnodnevnice, Sunce je u zenitu na ekvatoru. U 11:00 časova po lokalnom vremenu u Skoplju (UTC+1), vreme na ekvatoru će biti 10:00 časova po UTC. S obzirom na ovo, treba da izaberete grad gde je lokalno vreme 12:00 časova (podne) kada je u Skoplju 11:00 časova.

Jedan takav grad je Kisangani u Demokratskoj Republici Kongo, koji se nalazi na oko 0,52° severne geografske širine i ima vremensku zonu UTC+2. Kada je u Skoplju 11:00 časova (UTC+1), u Kisangani je 12:00 časova (UTC+2), što znači da će Sunce biti u zenitu u Kisangani u isto vreme kada vi merite u Skoplju.

Spoređivanjem dužine senki u Skoplju i Kisangani u ovom trenutku, možete da izračunate obim Zemlje koristeći metodologiju Eratostena.

Udaljenost između Skoplja, Makedonija, i Kisangani, Demokratska Republika Kongo, je približno 4.653 kilometra po vazdušnoj liniji.

Ako izvodite merenje u 13:00 časova po lokalnom vremenu u Skoplju (UTC+1), tada će na ekvatoru biti 12:00 časova (podne) po UTC+2.

Na 20. mart (dan prolećne ravnodnevnice), Sunce će zaista biti u zenitu na ekvatoru tačno u podne po lokalnom vremenu. To znači da će u izabranom gradu na ekvatoru (sa UTC+2), sunčevi zraci padati normalno (pod uglom od 90°) u 13:00 časova po vremenu Skoplja.

Ovo čini 13:00 časova po lokalnom vremenu u Skoplju idealan trenutak za merenje uporednih senki sa mesta na ekvatoru!

Skoplje se nalazi na približno 42° severne geografske širine.

Da bismo izračunali udaljenost od ekvatora, koristimo činjenicu da jedan stepen geografske širine odgovara oko 111 kilometara.

42° × 111 km = 4.662 km

Znači, Skoplje je udaljeno oko 4.662 kilometra od ekvatora.

Dobijeni odgovori se podudaraju sa podatcima po kojima radimo već jednu deceniju što potvrđuje ispravnost našeg rada.

KAKO JE ERATOSTEN DOŠAO NA IDEJU DA IZMJERI OBIM ZEMLJE, 
SAVJETI I OPISI IVOĐENJA EKSPERIMENTA

Obim kruga na ekvatoru je 40,075.16 kilometara.

Eratosten je znao da tokom letnjeg solsticija (dugodnevnice) 22. juna, u lokalno podne, u drevnom Egiptu u mestu Sijena, na severnom povratniku, sunce se pojavljuje u zenitu direktno iznad (pod pravim uglom). Rekli su mu da senka nekog čoveka koji gleda u dubok bunar će potpuno blokirati refleksiju sunca u podne. Svi ljudi bi verovatno ignorisali ovu informaciju pošto bi im bila beznačajna. Dok se Eratosten zapitao:

Kako to da Sunce ne pokazuje senku u Sijeni u podne tokom letnjeg solsticija dok u isto vreme u Aleksandriji sve stvari imaju senku?

Eratosten je mislio ako je Zemlja ravna, onda sunčevi zraci bi bili vertikalni u oba grada u isto vreme.

Tako je on zaključio da je Zemlja sfernog oblika.

Još više, što je veća razdaljina između senki veća je krivina između dva grada.

Predpostavljajući još i da je Sunce toliko daleko da njegove zrake možemo smatrati paralelnim, on je sproveo eksperiment.

Postavio je štap, dug jednog metra, vertikalno na zemlju, kada je Sunce dostiglo zenit izmerio je dužinu senke datog štapa. Pošto su zraci sunca paralelni ugao između štapa I zraka je jednak uglu između dva grada. Ovim merenjem našao je da u Aleksandriji ugao elevacije sunca 1/50 punog kruga (7°12') južno od zenita u isto vreme. Aleksandrija je severno od Siene pa je zaključio da je rastojenja od Aleksandrije do Siene jednako 1/50 obima Zemlje. Takođe je procenio da je rastojanje između gradova 5000 stadija (793,8km). Pošto 793,8km odgovara uglu od 7°12' onda uglu od 360ᵒ odgovara 39.690km.

Ugaona razdaljina između Aleksandrije i Siene

- Sjeverni povratnik ili rakova obratnica je jedna od pet osnovnih paralela koje se označavaju na mapi Zemlje. To je najsevernija paralela na kojoj se Sunce u podne pojavljuje u zenitu.

- Equnox ili ravnodnevnica je dan kada noć i obdanica traju jednako. Postoje prolećna i jesenja ravnodnevnica.

Prolećna je uglavnom 20. marta i označava početak proleća na severnoj hemisferi, a jeseni na južnoj. Jesenja

ravnodnevica je najčešće 23. septembra i označava početak jeseni na severnoj a proleća na južnoj hemisferi.

-Tačan datum ravnodnevnice je dan kada Sunce tačno bude u gama (prolećna ravnodnevica) odnosno u omega tački (jesenja ravnodnevica), tj. kada preseče nebeski ekvator pri svom kretanju po ekliptici.

- Nebeski ekvator je projekcija ekvatorijalne ravni Zemlje na nebesku sferu.

- Ekliptika je eliptična orbita po kojoj se Zemlja kreće pri svojoj revoluciji oko Sunca. Ugao između Zemljinog ekvatora i ravni ekliptike iznosi 23°27‘(ovaj ugao se menja zbog precesije). Projekciju ove godišnje putanje vidimo kao prividno kretanje Sunca po nebeskoj sferi, gledano sa Zemlje.

-Precesija (lat. praecessio — prethođenje, kretanje unapred) je premeštanje tačke prolećnog (ili jesenjeg) ekvinokcijuma usled laganog zaokretanja pravca Zemljine ose, zbog čega se Sunce svakog dana vraća u tu tačku, čime ono završava svoje puno kretanje po ekliptici. Istovremeno s precesionim kretanjem, Zemljina osa doživljava i nutaciono kolebanje - nutaciju.

Da bi izveli Eratostenov eksperiment trebaju nam dva posmatrača. Jedan u našem mestu i jedan na ekvatoru 21. juna kada je Sunce iznad glave posmatrača.

Postoji i druga mogućnost. Na primer dva posmatrača na istom meridijanu. Staviće štap normalno na Zemlju i izmeriti dužinu sunčeve senke u istom momentu u podne. U ovom slučaju moramo znati razdaljinu između posmatrača mereno po meridijanu i uglove određene dužinom štapa i njegove senke u svakom mestu. Tako je ɣ=α-β.

 Znači:

Ugao  padanja  sunčevih zraka se  računa pomoću trigonometrije pravouglog  trougla.

Ugaona udaljenost je udaljenost između dve tačake mjerene pomoću ugla između dva zraka koji  iz zajedničke točke (vrha ugla) prolaze kroz te tačke. Ugaona udaljenost među školama predstavlja razliku upadnih uglova  sunčevih zraka dviju škola.